微分積分例

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

ステップ 1

連鎖律は、 $x$ に関する $y$ の導関数は、 $u$ に関する $y$ の導関数の、 $x$ に関する $u$ の導関数をかけたものと等しいということを述べています。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

ステップ 2

$\frac{d y}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

ステップ 2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

ステップ 2.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.6

$\frac{3}{2}$ と $u^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $6 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 3.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 4

$\frac{d y}{d u}$ に $\frac{d u}{d x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 5

右辺 $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5.1.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6

$u$ の値を微分係数 $9 u^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

微分積分 例

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