微分積分例

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

ステップ 1

連鎖律は、 $x$ に関する $y$ の導関数は、 $u$ に関する $y$ の導関数の、 $x$ に関する $u$ の導関数をかけたものと等しいということを述べています。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

ステップ 2

$\frac{d y}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$f (u) = u + 1$ および $g (u) = u$ のとき、 $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ は $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $u + 1$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ です。

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

ステップ 2.2.3

$1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$u$ に $1$ をかけます。

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

ステップ 2.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

ステップ 2.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$u$ から $u$ を引きます。

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$0$ から $1 \cdot 1$ を引きます。

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

ステップ 2.3.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{u^{2}}$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{u^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2}$

ステップ 4

$\frac{d y}{d u}$ に $\frac{d u}{d x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

ステップ 5

右辺 $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 5.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

ステップ 5.1.2

$- 6$ と $\frac{1}{u^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

ステップ 5.1.3

$x^{2}$ と $\frac{- 6}{u^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

ステップ 5.2

$- 6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

ステップ 6

$u$ の値を微分係数 $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 7

結果を簡約します。

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ステップ 7.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.1.1

積の法則を $2 x^{3}$ に当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

ステップ 7.1.3

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 7.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

ステップ 7.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.1

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

ステップ 7.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.2.1

$2$ を $4 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

ステップ 7.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

ステップ 7.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

ステップ 7.2.2

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$x^{2}$ を $2 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

ステップ 7.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

ステップ 7.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例