微分積分例

y = u^{2} + u - 2

$y = u^{2} + u - 2$ ,

u = \frac{1}{x}

$u = \frac{1}{x}$

ステップ 1

連鎖律は、

x

$x$ に関する

y

$y$ の導関数は、

u

$u$ に関する

y

$y$ の導関数の、

x

$x$ に関する

u

$u$ の導関数をかけたものと等しいということを述べています。

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

ステップ 2

\frac{d y}{d u}

$\frac{d y}{d u}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、

u^{2} + u - 2

$u^{2} + u - 2$ の

u

$u$ に関する積分は

\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ です。

\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

ステップ 2.2

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

ステップ 2.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

ステップ 2.4

- 2

$- 2$ は

u

$u$ について定数なので、

u

$u$ について

- 2

$- 2$ の微分係数は

0

$0$ です。

2 u + 1 + 0

$2 u + 1 + 0$

ステップ 2.5

2 u + 1

$2 u + 1$ と

0

$0$ をたし算します。

2 u + 1

$2 u + 1$

2 u + 1

$2 u + 1$

ステップ 3

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ を

x^{- 1}

$x^{- 1}$ に書き換えます。

\frac{d}{d x} [x^{- 1}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2

n = - 1

$n = - 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

- x^{- 2}

$- x^{- 2}$

ステップ 3.3

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

\frac{d y}{d u}

$\frac{d y}{d u}$ に

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ をかけます。

\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

ステップ 5

右辺

(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)

$(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.2

- \frac{1}{x^{2}} (2 u)

$- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

2

$2$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.2.2

- 2

$- 2$ と

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.2.3

\frac{- 2}{x^{2}}

$\frac{- 2}{x^{2}}$ と

u

$u$ をまとめます。

\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.3

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5.4

分数の前に負数を移動させます。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 6

u

$u$ の値を微分係数

- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ に代入します。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

2

$2$ と

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ をまとめます。

\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.2

分子に分母の逆数を掛けます。

\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.3

まとめる。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4

指数を足して

x

$x$ に

x^{2}

$x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

x

$x$ に

x^{2}

$x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1

x

$x$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4.1.2

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4.2

1

$1$ と

2

$2$ をたし算します。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.5

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

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