微分積分例

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

ステップ 1

連鎖律は、 $x$ に関する $y$ の導関数は、 $u$ に関する $y$ の導関数の、 $x$ に関する $u$ の導関数をかけたものと等しいということを述べています。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

ステップ 2

$\frac{d y}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $u^{2} + u - 2$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

ステップ 2.4

$- 2$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 u + 1 + 0$

ステップ 2.5

$2 u + 1$ と $0$ をたし算します。

$2 u + 1$

ステップ 3

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

$\frac{d y}{d u}$ に $\frac{d u}{d x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

ステップ 5

右辺 $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.2

$- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.2.3

$\frac{- 2}{x^{2}}$ と $u$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 6

$u$ の値を微分係数 $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.3

まとめる。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 7.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

微分積分 例

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