微分積分例

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

ステップ 1

連鎖律は、 $t$ に関する $w$ の導関数は、 $u$ に関する $w$ の導関数の、 $t$ に関する $u$ の導関数をかけたものと等しいということを述べています。

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

ステップ 2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2}$

ステップ 3

$\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$f (t) = t - 1$ および $g (t) = t + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$t + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$t + 1 - t - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$t$ から $t$ を引きます。

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 4

$\frac{d w}{d u}$ に $\frac{d u}{d t}$ をかけます。

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

ステップ 5

右辺 $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

ステップ 5.2

$3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

$3$ と $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

ステップ 5.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

ステップ 5.3

$\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 6

$u$ の値を微分係数 $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ に代入します。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 7

結果を簡約します。

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ステップ 7.1

積の法則を $\frac{t - 1}{t + 1}$ に当てはめます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

$6$ と $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 7.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

ステップ 7.4

まとめる。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

ステップ 7.5

指数を足して ${(t + 1)}^{2}$ に ${(t + 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

ステップ 7.5.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

ステップ 7.6

$6 {(t - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例