微分積分例

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

ステップ 1

$f (z) = 2 x$ および $g (z) = z^{2} - y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ は $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$2 x$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $z^{2} - y^{2}$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ です。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$- y^{2}$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$2 z$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$z^{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$- y^{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$0$ に $y^{2}$ をかけます。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$0 + 0 - 4 x z$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

$0$ から $4 x z$ を引きます。

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = y$ です。

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

積の法則を $(z + y) (z - y)$ に当てはめます。

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$

微分積分 例

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