微分積分例

$q = \frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2})$

ステップ 2

$t$ に関する $q$ の微分係数は $q'$ です。

$q'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{t}{t + 2} + 3 t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}] + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (t) = t$ および $g (t) = t + 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t + 2) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 2]}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $t + 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ です。

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [2])}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.5

$2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t + 2) \cdot 1 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.6

$t + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{t + 2 - t (1 + 0)}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t + 2 - t \cdot 1}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{t + 2 - t}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.9

$t$ から $t$ を引きます。

$\frac{0 + 2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.2.10

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + \frac{d}{d t} [3 t^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 3 (2 t)$

ステップ 3.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{{(t + 2)}^{2}} + 6 t$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$q' = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

ステップ 5

$q'$ を $\frac{d q}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d q}{d t} = 6 t + \frac{2}{{(t + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例