微分積分例

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{20 r - r^{7}}$ を ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$r$ に関する $q$ の微分係数は $q'$ です。

$q'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ および $g (r) = 20 r - r^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ は $f' (g (r)) g' (r)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $20 r - r^{7}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $20 r - r^{7}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.6.2

$\frac{1}{2}$ と ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

ステップ 4.7

総和則では、 $20 r - r^{7}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ です。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

ステップ 4.8

$20$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $20 r$ の微分係数は $20 \frac{d}{d r} [r]$ です。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

ステップ 4.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

ステップ 4.10

$20$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

ステップ 4.11

$- 1$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- r^{7}$ の微分係数は $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ です。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

ステップ 4.12

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

ステップ 4.13

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

ステップ 4.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.1

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ の因数を並べ替えます。

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.14.2

$20 - 7 r^{6}$ に $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$q'$ を $\frac{d q}{d r}$ で置き換えます。

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例