微分積分例

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

ステップ 2

$r$ に関する $P$ の微分係数は $P'$ です。

$P'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$B^{3}$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ の微分係数は $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ です。

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

ステップ 3.2

$f (r) = r$ および $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ は $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$R^{2} + R r + r^{2}$ に $1$ をかけます。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $R^{2} + R r + r^{2}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ です。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$R^{2}$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $R^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d r} [R r]$ をたし算します。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$R$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $R r$ の微分係数は $R \frac{d}{d r} [r]$ です。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.8

$R$ に $1$ をかけます。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.10

$B^{3}$ と $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

$B^{3} (R r)$ と $B^{3} (- r R)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$B^{3} R r$ から $B^{3} R r$ を引きます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.1.3

$B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2.2

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.2.2.1

$r$ を移動させます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2.2.2

$r$ に $r$ をかけます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

$B^{3} r^{2}$ から $2 B^{3} r^{2}$ を引きます。

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$B^{3}$ を $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

$B^{3}$ を $B^{3} R^{2}$ で因数分解します。

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

ステップ 3.4.5.1.2

$B^{3}$ を $- B^{3} r^{2}$ で因数分解します。

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

ステップ 3.4.5.1.3

$B^{3}$ を $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ で因数分解します。

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

ステップ 3.4.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = R$ であり、 $b = r$ です。

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

ステップ 5

$P'$ を $\frac{d P}{d r}$ で置き換えます。

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

微分積分 例

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