微分積分例

$s = 2 \cot (t + e^{- t})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (2 \cot (t + e^{- t}))$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 \cot (t + e^{- t})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$

ステップ 3.2

$f (t) = \cot (t)$ および $g (t) = t + e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $t + e^{- t}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\cot (u_{1})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{1})$ です。

$2 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t + e^{- t}$ で置き換えます。

$2 (- \csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $t + e^{- t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

ステップ 3.4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- t$ とします。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.5.3

式を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot - 1)$

ステップ 3.5.3.2

$- 1$ を $e^{- t}$ の左に移動させます。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - 1 \cdot e^{- t})$

ステップ 3.5.3.3

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

微分積分 例

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