微分積分例

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t^{4} + 25}$ を ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

ステップ 3

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ です。

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = t^{4} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{4} + 25$ とします。

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.2.3

$u$ のすべての発生を $t^{4} + 25$ で置き換えます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.3

総和則では、 $t^{4} + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.5

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.8

公分母の分子をまとめます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.11

$4 t^{3}$ と $0$ をたし算します。

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.12

$\frac{1}{2}$ と ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.13

$4$ と $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.14

$\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.16

$2$ を $4 t^{3}$ で因数分解します。

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.17

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.17.1

$2$ を $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.17.2

共通因数を約分します。

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.17.3

式を書き換えます。

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.18

$10$ と $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.2.19

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

ステップ 4.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

$- 50$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 50$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 4.3.2

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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