微分積分例

$s = t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} + \frac{9}{t^{2}})$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{9}{t^{2}}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ です。

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{t^{2}}$ を ${(t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.2.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2}$ とします。

$2 t + 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 3.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

ステップ 3.2.5

${(t^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 t + 9 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

ステップ 3.2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 t + 9 (- t^{- 4} (2 t))$

ステップ 3.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 t + 9 (- 2 t^{- 4} t)$

ステップ 3.2.7

$t$ を $1$ 乗します。

$2 t + 9 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

ステップ 3.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 t + 9 (- 2 t^{1 - 4})$

ステップ 3.2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$2 t + 9 (- 2 t^{- 3})$

ステップ 3.2.10

$- 2$ に $9$ をかけます。

$2 t - 18 t^{- 3}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 t - 18 \frac{1}{t^{3}}$

ステップ 3.3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.3.2.1

$- 18$ と $\frac{1}{t^{3}}$ をまとめます。

$2 t + \frac{- 18}{t^{3}}$

ステップ 3.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 t - \frac{18}{t^{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

微分積分 例

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