微分積分例

$v = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

括弧を削除します。

$r' = \frac{1}{3} \cdot ((p r^{2}) h)$

ステップ 1.2

括弧を削除します。

$r' = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d r'} r' = \frac{d}{d r'} (\frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h))$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{r'}^{n}]$ は $n {r'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

$p$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (r^{2} h)]$

ステップ 4.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.2.1

$r^{2}$ と $\frac{p}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p}{3} \cdot h]$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{r^{2} p}{3}$ と $h$ をまとめます。

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p h}{3}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{p h}{3}$ は $r'$ に対して定数なので、 $r'$ に対する $\frac{r^{2} p h}{3}$ の微分係数は $\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$ です。

$\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$

ステップ 4.2

$f (r') = {r'}^{2}$ および $g (r') = r$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (r'))]$ は $f' (g (r')) g' (r')$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r$ とします。

$\frac{p h}{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d v} [r])$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{p h}{3} (2 u \frac{d}{d v} [r])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $r$ で置き換えます。

$\frac{p h}{3} (2 r \frac{d}{d v} [r])$

ステップ 4.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$2$ と $\frac{p h}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 (p h)}{3} (r \frac{d}{d v} [r])$

ステップ 4.3.2

$r$ と $\frac{2 (p h)}{3}$ をまとめます。

$\frac{r (2 (p h))}{3} \frac{d}{d v} [r]$

ステップ 4.3.3

$2$ を $r$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot r p h}{3} \frac{d}{d v} [r]$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d v} [r]$ を $r'$ に書き換えます。

$\frac{2 r p h}{3} r'$

ステップ 4.5

$\frac{2 r p h}{3}$ と $r'$ をまとめます。

$\frac{2 r p h r'}{3}$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$\frac{2 h p r r'}{3}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{2 h p r r'}{3}$

ステップ 6

$r'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{2 h p r r'}{3} = 1$ として書き換えます。

$\frac{2 h p r r'}{3} = 1$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 h p r r') = \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

$2$ を $2 h p r r'$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$h p r r' = \frac{3}{2} \cdot 1$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$h p r r' = \frac{3}{2}$

ステップ 6.4

$h p r r' = \frac{3}{2}$ の各項を $h p r$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$h p r r' = \frac{3}{2}$ の各項を $h p r$ で割ります。

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.2.2

$p$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.2.3

$r$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.2.3.2

$r'$ を $1$ で割ります。

$r' = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$r' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{h p r}$

ステップ 6.4.3.2

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{h p r}$ をかけます。

$r' = \frac{3}{2 h p r}$

ステップ 7

$r'$ を $\frac{d r}{d v}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d v} = \frac{3}{2 h p r}$

微分積分 例

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