微分積分例

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

ステップ 2

$t$ に関する $w$ の微分係数は $w'$ です。

$w'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t^{90}$ および $g (t) = t^{7} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{7} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

ステップ 3.1.2

$n = 90$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $t^{7} + 1$ で置き換えます。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $t^{7} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

ステップ 3.2.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$7 t^{6}$ と $0$ をたし算します。

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

ステップ 3.2.4.2

$7$ に $90$ をかけます。

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

ステップ 3.2.4.3

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ の因数を並べ替えます。

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

ステップ 5

$w'$ を $\frac{d w}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

微分積分 例

微分積分例