微分積分例

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

ステップ 2

$x$ に関する $V$ の微分係数は $V'$ です。

$V'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x (36 - x)$ および $g (x) = 24 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $24 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2.2

$24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $24$ の微分係数は $0$ です。

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.2.6.2

$- 2$ を $x (36 - x)$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

ステップ 3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = 36 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $36 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.2

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

ステップ 3.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$36 - x$ に $1$ をかけます。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

ステップ 3.4.8.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

ステップ 3.5.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

ステップ 3.5.4

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5

項をまとめます。

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ステップ 3.5.5.1

$36$ に $- 2$ をかけます。

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.7

$- 2$ に $24$ をかけます。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.8

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.9

$x$ を $1$ 乗します。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.10

$x$ を $1$ 乗します。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.13

$24$ に $36$ をかけます。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

ステップ 3.5.5.14

$36$ に $- 2$ をかけます。

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

ステップ 3.5.5.15

$- 48 x$ から $72 x$ を引きます。

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

ステップ 3.5.5.16

$- 72 x$ から $120 x$ を引きます。

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

ステップ 3.5.5.17

$2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$6 x^{2} - 192 x + 864$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

ステップ 5

$V'$ を $\frac{d V}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$

微分積分 例

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