微分積分例

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 2

$x$ に関する $v'$ の微分係数は $v''$ です。

$v''$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.3.3

${(x + 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.5.2

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.2.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.5.2.2

$x + 1$ を $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ で因数分解します。

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.5.2.3

$x + 1$ を $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ で因数分解します。

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.6

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.7

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.10

項を簡約します。

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ステップ 3.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.10.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.10.3

$x$ から $2 x$ を引きます。

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.10.4

$2$ と $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.3

$2$ を $- 2 x + 2$ で因数分解します。

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ステップ 3.11.3.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.3.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.3.3

$2$ を $2 (- x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.7

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3.11.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 5

$v'$ を $\frac{d v}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例