微分積分例

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

ステップ 2

$r$ に関する $f$ の微分係数は $f'$ です。

$f'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ および $g (r) = 4 r^{4} - 7$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ は $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $4 r^{4} - 7$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ です。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.2

$4$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $4 r^{4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ です。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.5

$- 7$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$16 r^{3}$ と $0$ をたし算します。

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.6.2

$16$ を $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ の左に移動させます。

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ です。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.8

$- 6$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- 6 r^{9}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ です。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.9

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.10

$9$ に $- 6$ をかけます。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.11

$- 1$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.12

$- 54 r^{8}$ と $0$ をたし算します。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.13

$- 9$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- \frac{9}{r^{2}}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ です。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

ステップ 3.2.14

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.14.1

$\frac{1}{r^{2}}$ を ${(r^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

ステップ 3.2.14.2

${(r^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.14.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

ステップ 3.2.14.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

ステップ 3.2.15

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

ステップ 3.2.16

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$- 6$ に $16$ をかけます。

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.2

指数を足して $r^{9}$ に $r^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$r^{3}$ を移動させます。

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.2.3

$3$ と $9$ をたし算します。

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.5

$- 16$ と $\frac{9}{r^{2}}$ をまとめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.6

$- 16$ に $9$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.8

$r^{3}$ と $\frac{144}{r^{2}}$ をまとめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.9

$144$ を $r^{3}$ の左に移動させます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.10

$r^{3}$ と $r^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.10.1

$r^{2}$ を $144 r^{3}$ で因数分解します。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.10.2.1

$1$ を掛けます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.10.2.3

式を書き換えます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.10.2.4

$144 r$ を $1$ で割ります。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.11

$144$ に $- 1$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

ステップ 3.3.4.12

$18$ と $\frac{1}{r^{3}}$ をまとめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

ステップ 3.3.5

項を並べ替えます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

ステップ 3.3.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1.1

分配則を当てはめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

ステップ 3.3.6.1.2

分配則を当てはめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

ステップ 3.3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.2

指数を足して $r^{8}$ に $r^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.2.1

$r^{4}$ を移動させます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.2.3

$4$ と $8$ をたし算します。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.3

$- 54$ に $4$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.4

$- 7$ に $- 54$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.6

$4 \frac{18}{r^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.6.1

$4$ と $\frac{18}{r^{3}}$ をまとめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.6.2

$4$ に $18$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.7

$r^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.7.1

$r^{3}$ を $r^{4}$ で因数分解します。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.7.2

共通因数を約分します。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.7.3

式を書き換えます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.8

$\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.8.1

$\frac{18}{r^{3}}$ と $- 7$ をまとめます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.8.2

$18$ に $- 7$ をかけます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

ステップ 3.3.6.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

ステップ 3.3.7

$- 96 r^{12}$ から $216 r^{12}$ を引きます。

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

ステップ 3.3.8

$72 r$ から $144 r$ を引きます。

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

ステップ 5

$f'$ を $\frac{d f}{d r}$ で置き換えます。

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

微分積分 例

微分積分例