微分積分例

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ です。

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{3}$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $\frac{1}{3} t^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.2

$f (s) = s^{3}$ および $g (s) = t$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $t$ とします。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $t$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d s} [t]$ を $t'$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.4

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.5

$t^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.6

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ と $t'$ をまとめます。

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.7

$3$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.2.8.2

$t^{2} t'$ を $1$ で割ります。

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 5$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $- 5 t^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ です。

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.3.2

$f (s) = s^{2}$ および $g (s) = t$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $t$ とします。

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $t$ で置き換えます。

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d s} [t]$ を $t'$ に書き換えます。

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.3.4

$2$ に $- 5$ をかけます。

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d s} [16 t]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$16$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $16 t$ の微分係数は $16 \frac{d}{d s} [t]$ です。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.4.2

$\frac{d}{d s} [t]$ を $t'$ に書き換えます。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

$8$ は $s$ について定数なので、 $s$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

ステップ 3.5.2

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ と $0$ をたし算します。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

ステップ 5

$t'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ として書き換えます。

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

ステップ 5.2

$t'$ を $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$t'$ を $t^{2} t'$ で因数分解します。

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

ステップ 5.2.2

$t'$ を $- 10 t t'$ で因数分解します。

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

ステップ 5.2.3

$t'$ を $16 t'$ で因数分解します。

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

ステップ 5.2.4

$t'$ を $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ で因数分解します。

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

ステップ 5.2.5

$t'$ を $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ で因数分解します。

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

ステップ 5.3

因数分解。

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ステップ 5.3.1

たすき掛けを利用して $t^{2} - 10 t + 16$ を因数分解します。

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ステップ 5.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $16$ で、その和が $- 10$ です。

$- 8, - 2$

ステップ 5.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

ステップ 5.3.2

不要な括弧を削除します。

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

ステップ 5.4

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$ の各項を $(t - 8) (t - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$ の各項を $(t - 8) (t - 2)$ で割ります。

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$t - 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

ステップ 5.4.2.2

$t - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

ステップ 5.4.2.2.2

$t'$ を $1$ で割ります。

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

ステップ 6

$t'$ を $\frac{d t}{d s}$ で置き換えます。

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

微分積分 例

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