微分積分例

$s = t^{3} - 12 t$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (t^{3} - 12 t)$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ は $n s^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $t^{3} - 12 t$ の $s$ に関する積分は $\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$ です。

$\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d s} [t^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (s) = s^{3}$ および $g (s) = t$ のとき、 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ は $f' (g (s)) g' (s)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $t$ で置き換えます。

$3 t^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d s} [t]$ を $t'$ に書き換えます。

$3 t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d s} [- 12 t]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 12$ は $s$ に対して定数なので、 $s$ に対する $- 12 t$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d s} [t]$ です。

$3 t^{2} t' - 12 \frac{d}{d s} [t]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d s} [t]$ を $t'$ に書き換えます。

$3 t^{2} t' - 12 t'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 3 t^{2} t' - 12 t'$

ステップ 5

$t'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $3 t^{2} t' - 12 t' = 1$ として書き換えます。

$3 t^{2} t' - 12 t' = 1$

ステップ 5.2

$3 t'$ を $3 t^{2} t' - 12 t'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3 t'$ を $3 t^{2} t'$ で因数分解します。

$3 t' t^{2} - 12 t' = 1$

ステップ 5.2.2

$3 t'$ を $- 12 t'$ で因数分解します。

$3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4 = 1$

ステップ 5.2.3

$3 t'$ を $3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4$ で因数分解します。

$3 t' (t^{2} - 4) = 1$

ステップ 5.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$3 t' (t^{2} - 2^{2}) = 1$

ステップ 5.4

因数分解。

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ステップ 5.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 2$ です。

$3 t' ((t + 2) (t - 2)) = 1$

ステップ 5.4.2

不要な括弧を削除します。

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$

ステップ 5.5

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ の各項を $3 (t + 2) (t - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ の各項を $3 (t + 2) (t - 2)$ で割ります。

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 5.5.2.2

$t + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 5.5.2.3

$t - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 5.5.2.3.2

$t'$ を $1$ で割ります。

$t' = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

ステップ 6

$t'$ を $\frac{d t}{d s}$ で置き換えます。

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

微分積分 例

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