微分積分例

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (y) = \cos (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 3.3.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 3.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$6$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6

$x'$ について解きます。

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ステップ 6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $- \sin (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $- \sin (x)$ で割ります。

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

ステップ 6.3.2.2

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

ステップ 6.3.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

ステップ 6.3.3.2

分数を分解します。

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 6.3.3.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

ステップ 6.3.3.4

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

ステップ 6.3.3.5

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ と $\csc (x)$ をまとめます。

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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