微分積分例

$\sin (x) = e^{y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\cos (x) x'$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{y}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\cos (x) x' = e^{y}$

ステップ 5

$\cos (x) x' = e^{y}$ の各項を $\cos (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$\cos (x) x' = e^{y}$ の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

ステップ 5.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分数を分解します。

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

ステップ 5.3.3

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$x' = e^{y} \sec (x)$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$

微分積分 例

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