微分積分例

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 3.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x y y' + 3 y^{2}$

ステップ 3.8.3

項を並べ替えます。

$3 y^{2} + 6 x y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $6 x y y'$ を引きます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$3 y y'$ を $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$3 y y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.2

$3 y y'$ を $- 6 x y y'$ で因数分解します。

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3.3

$3 y y'$ を $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ で因数分解します。

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

ステップ 5.4

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ の各項を $3 y (y - 2 x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ の各項を $3 y (y - 2 x)$ で割ります。

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.3

$y - 2 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.2

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.3

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.3.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1.3.2.1

$3$ を $3 y (y - 2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

ステップ 5.4.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.2

$\frac{y}{y - 2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(y - 2 x) y$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.4.3.3.1

$\frac{y}{y - 2 x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.3.2

$(y - 2 x) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.3.5.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.5.2

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

ステップ 5.4.3.5.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

微分積分 例

微分積分例