微分積分例

$x^{3} + t^{3} x + t^{2} + 3 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (x^{3} + t^{3} x + t^{2} + 3) = \frac{d}{d t} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} + t^{3} x + t^{2} + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{d}{d t} [x^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = x$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$3 x^{2} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d t} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d t} [t^{3} x] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [t^{3} x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = x$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 x^{2} x' + t^{3} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d t} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + x \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + x (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.3.4

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 2.4.2

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 x t^{2} + 2 t$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 t^{2} x + 2 t$

ステップ 3

$0$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 3 t^{2} x + 2 t = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 t^{2} x$ を引きます。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' + 2 t = - 3 t^{2} x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2 t$ を引きます。

$3 x^{2} x' + t^{3} x' = - 3 t^{2} x - 2 t$

ステップ 5.2

$x'$ を $3 x^{2} x' + t^{3} x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x'$ を $3 x^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (3 x^{2}) + t^{3} x' = - 3 t^{2} x - 2 t$

ステップ 5.2.2

$x'$ を $t^{3} x'$ で因数分解します。

$x' (3 x^{2}) + x' (t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$

ステップ 5.2.3

$x'$ を $x' (3 x^{2}) + x' (t^{3})$ で因数分解します。

$x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$

ステップ 5.3

$x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$ の各項を $3 x^{2} + t^{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x' (3 x^{2} + t^{3}) = - 3 t^{2} x - 2 t$ の各項を $3 x^{2} + t^{3}$ で割ります。

$\frac{x' (3 x^{2} + t^{3})}{3 x^{2} + t^{3}} = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3 x^{2} + t^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (3 x^{2} + t^{3})}{3 x^{2} + t^{3}} = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 3 t^{2} x}{3 x^{2} + t^{3}} + \frac{- 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{- 3 t^{2} x - 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.2

$t$ を $- 3 t^{2} x - 2 t$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$t$ を $- 3 t^{2} x$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- 3 t x) - 2 t}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$t$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- 3 t x) + t \cdot - 2}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$t$ を $t (- 3 t x) + t \cdot - 2$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- 3 t x - 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- 3 t x$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- (3 t x) - 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.4

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x' = \frac{t (- (3 t x) - 1 (2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ を $- (3 t x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- (3 t x + 2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.6

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.6.1

$- (3 t x + 2)$ を $- 1 (3 t x + 2)$ に書き換えます。

$x' = \frac{t (- 1 (3 t x + 2))}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 5.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{t (3 t x + 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t (3 t x + 2)}{3 x^{2} + t^{3}}$

微分積分 例

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