微分積分例

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

ステップ 2

$p$ に関する $x$ の微分係数は $x'$ です。

$x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

$500$ は $p$ に対して定数なので、 $p$ に対する $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ の微分係数は $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ です。

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ を $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ に書き換えます。

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

ステップ 3.2

$f (p) = p^{- 1}$ および $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ は $f' (g (p)) g' (p)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln (p^{2} + 1)$ とします。

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (p^{2} + 1)$ で置き換えます。

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

ステップ 3.3

$- 1$ に $500$ をかけます。

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

ステップ 3.4

$f (p) = \ln (p)$ および $g (p) = p^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ は $f' (g (p)) g' (p)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $p^{2} + 1$ とします。

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

ステップ 3.4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $p^{2} + 1$ で置き換えます。

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{p^{2} + 1}$ と $- 500$ をまとめます。

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

ステップ 3.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.5.2.1

$\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ と $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ をまとめます。

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

ステップ 3.5.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ を分母に移動させます。

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

ステップ 3.5.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

ステップ 3.5.3

総和則では、 $p^{2} + 1$ の $p$ に関する積分は $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ です。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

ステップ 3.5.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ は $n p^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

ステップ 3.5.5

$1$ は $p$ について定数なので、 $p$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

ステップ 3.5.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.5.6.1

$2 p$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

ステップ 3.5.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

ステップ 3.5.6.3

$- 2$ と $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

ステップ 3.5.6.4

$- 2$ に $500$ をかけます。

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

ステップ 3.5.6.5

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ と $p$ をまとめます。

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

ステップ 3.5.6.6

式を簡約します。

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ステップ 3.5.6.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

ステップ 3.5.6.6.2

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

ステップ 5

$x'$ を $\frac{d x}{d p}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

微分積分 例

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