微分積分例

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

ステップ 2

$r$ に関する $V$ の微分係数は $V'$ です。

$V'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$p$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $p r^{2} (2 p r - 24)$ の微分係数は $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ です。

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

ステップ 3.2

$f (r) = r^{2}$ および $g (r) = 2 p r - 24$ のとき、 $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ は $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $2 p r - 24$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ です。

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.2

$2 p$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $2 p r$ の微分係数は $2 p \frac{d}{d r} [r]$ です。

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.5

$- 24$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $- 24$ の微分係数は $0$ です。

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$2 p$ と $0$ をたし算します。

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.6.2

$2$ を $r^{2}$ の左に移動させます。

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

ステップ 3.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

ステップ 3.3.8

$2$ を $2 p r - 24$ の左に移動させます。

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$p$ を $1$ 乗します。

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.2

$p$ を $1$ 乗します。

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.5

$2$ を $p^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.7

$r$ を $1$ 乗します。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.8

$r$ を $1$ 乗します。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.11

$p$ を $1$ 乗します。

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.12

$p$ を $1$ 乗します。

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

ステップ 3.4.4.15

$2$ に $- 24$ をかけます。

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

ステップ 3.4.4.16

$2 p^{2} r^{2}$ と $4 p^{2} r^{2}$ をたし算します。

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

ステップ 3.4.5

項を並べ替えます。

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

ステップ 5

$V'$ を $\frac{d V}{d r}$ で置き換えます。

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

微分積分 例

微分積分例