微分積分例

$x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5) = \frac{d}{d t} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [x^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d t} [x^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = x$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$2 x \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d t} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$2 x x' + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [t^{2} x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = x$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x x' + t^{2} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d t} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$2 x x' + t^{2} x' + x \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x x' + t^{2} x' + x (2 t) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.4.2

$- 5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$3 t^{2} + 2 x x' + t^{2} x' + 2 t x$

ステップ 3

$0$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 t^{2} + 2 x x' + t^{2} x' + 2 t x = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $3 t^{2}$ を引きます。

$2 x x' + t^{2} x' + 2 t x = - 3 t^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $2 t x$ を引きます。

$2 x x' + t^{2} x' = - 3 t^{2} - 2 t x$

ステップ 5.2

$x'$ を $2 x x' + t^{2} x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x'$ を $2 x x'$ で因数分解します。

$x' (2 x) + t^{2} x' = - 3 t^{2} - 2 t x$

ステップ 5.2.2

$x'$ を $t^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (2 x) + x' (t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$

ステップ 5.2.3

$x'$ を $x' (2 x) + x' (t^{2})$ で因数分解します。

$x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$

ステップ 5.3

$x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$ の各項を $2 x + t^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$ の各項を $2 x + t^{2}$ で割ります。

$\frac{x' (2 x + t^{2})}{2 x + t^{2}} = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2 x + t^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (2 x + t^{2})}{2 x + t^{2}} = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 2 t x}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

$t$ を $- 3 t^{2} - 2 t x$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$t$ を $- 3 t^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- 3 t) - 2 t x}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.2

$t$ を $- 2 t x$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- 3 t) + t (- 2 x)}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$t$ を $t (- 3 t) + t (- 2 x)$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- 3 t - 2 x)}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- 3 t$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- (3 t) - 2 x)}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- (3 t) - (2 x))}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.5

$- 1$ を $- (3 t) - (2 x)$ で因数分解します。

$x' = \frac{t (- (3 t + 2 x))}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.6

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.6.1

$- (3 t + 2 x)$ を $- 1 (3 t + 2 x)$ に書き換えます。

$x' = \frac{t (- 1 (3 t + 2 x))}{2 x + t^{2}}$

ステップ 5.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{t (3 t + 2 x)}{2 x + t^{2}}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t (3 t + 2 x)}{2 x + t^{2}}$

微分積分 例

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