微分積分例

$v = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

ステップ 1

括弧を削除します。

$x' = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x'} x' = \frac{d}{d x'} (\frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3})))$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{x'}^{n}]$ は $n {x'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

微分します。

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ステップ 4.1.1

$p$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (2 a x^{2} - x^{3})]$

ステップ 4.1.2

$\frac{p}{3}$ は $x'$ に対して定数なので、 $x'$ に対する $\frac{p}{3} (2 a x^{2} - x^{3})$ の微分係数は $\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$ です。

$\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$

ステップ 4.1.3

総和則では、 $2 a x^{2} - x^{3}$ の $x'$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}]$ です。

$\frac{p}{3} (\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.1.4

$2 a$ は $x'$ に対して定数なので、 $x'$ に対する $2 a x^{2}$ の微分係数は $2 a \frac{d}{d v} [x^{2}]$ です。

$\frac{p}{3} (2 a \frac{d}{d v} [x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.2

$f (x') = {x'}^{2}$ および $g (x') = x$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ は $f' (g (x')) g' (x')$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x$ とします。

$\frac{p}{3} (2 a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{p}{3} (2 a (2 u_{1} \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{p}{3} (2 a (2 x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{p}{3} (4 a (x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d v} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{p}{3} (4 a x x' + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

ステップ 4.5

$- 1$ は $x'$ に対して定数なので、 $x'$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d v} [x^{3}]$ です。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - \frac{d}{d v} [x^{3}])$

ステップ 4.6

$f (x') = {x'}^{3}$ および $g (x') = x$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ は $f' (g (x')) g' (x')$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d v} [x]))$

ステップ 4.6.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

ステップ 4.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

ステップ 4.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 (x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

ステップ 4.8

$\frac{d}{d v} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9

簡約します。

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ステップ 4.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{p}{3} (4 a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2

項をまとめます。

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ステップ 4.9.2.1

$4$ と $\frac{p}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 p}{3} (a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.2

$a$ と $\frac{4 p}{3}$ をまとめます。

$\frac{a (4 p)}{3} (x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.3

$x$ と $\frac{a (4 p)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x (a (4 p))}{3} x' + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.4

$\frac{x (a (4 p))}{3}$ と $x'$ をまとめます。

$\frac{x (a (4 p)) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.5

$4$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{x (4 \cdot a p) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.6

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot x a p x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.7

$- 3$ と $\frac{p}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{- 3 p}{3} (x^{2} x')$

ステップ 4.9.2.8

$x^{2}$ と $\frac{- 3 p}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p)}{3} x'$

ステップ 4.9.2.9

$\frac{x^{2} (- 3 p)}{3}$ と $x'$ をまとめます。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p) x'}{3}$

ステップ 4.9.2.10

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.10.1

$3$ を $x^{2} (- 3 p) x'$ で因数分解します。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3}$

ステップ 4.9.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 (1)}$

ステップ 4.9.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.9.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- p) x'}{1}$

ステップ 4.9.2.10.2.4

$x^{2} (- p) x'$ を $1$ で割ります。

$\frac{4 x a p x'}{3} + x^{2} (- p) x'$

ステップ 4.9.3

項を並べ替えます。

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

ステップ 6

$x'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$ として書き換えます。

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$

ステップ 6.2

$x p x'$ を $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$x p x'$ を $\frac{4 x a p x'}{3}$ で因数分解します。

$x p x' \frac{4 a}{3} - x^{2} p x' = 1$

ステップ 6.2.2

$x p x'$ を $- x^{2} p x'$ で因数分解します。

$x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x) = 1$

ステップ 6.2.3

$x p x'$ を $x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x)$ で因数分解します。

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$

ステップ 6.3

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ の各項を $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ の各項を $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ で割ります。

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.2.2

$p$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.2.3

$\frac{4 a}{3} - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1.1

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x \cdot \frac{3}{3})}$

ステップ 6.3.3.1.2

$- x$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3})}$

ステップ 6.3.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - x \cdot 3}{3}}$

ステップ 6.3.3.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - 3 x}{3}}$

ステップ 6.3.3.1.5

指数をまとめます。

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ステップ 6.3.3.1.5.1

$x$ と $\frac{4 a - 3 x}{3}$ をまとめます。

$x' = \frac{1}{p \frac{x (4 a - 3 x)}{3}}$

ステップ 6.3.3.1.5.2

$p$ と $\frac{x (4 a - 3 x)}{3}$ をまとめます。

$x' = \frac{1}{\frac{p (x (4 a - 3 x))}{3}}$

ステップ 6.3.3.1.6

不要な括弧を削除します。

$x' = \frac{1}{\frac{p x (4 a - 3 x)}{3}}$

ステップ 6.3.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$x' = 1 \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

ステップ 6.3.3.3

$\frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$ に $1$ をかけます。

$x' = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

ステップ 7

$x'$ を $\frac{d x}{d v}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d v} = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

微分積分 例

微分積分例