微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 1.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 1.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $4^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4^{x} \ln (4)}$

ステップ 2

$\frac{4}{\ln (4)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 3.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 3.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $4^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 3.3.3

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4^{x} \ln (4)}$

ステップ 4

$\frac{3}{\ln (4)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 5.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 5.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $4^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 5.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 5.3.3

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4^{x} \ln (4)}$

ステップ 6

$\frac{2}{\ln (4)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}}$

ステップ 7

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 7.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

ステップ 7.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $4^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 7.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

ステップ 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 7.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 7.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

ステップ 7.3.3

$a$ = $4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x} \ln (4)}$

ステップ 8

$\frac{1}{\ln (4)}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x}}$

ステップ 9

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{4^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$\frac{4}{\ln (2^{2})} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$\frac{4}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$2$ を $2 \ln (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.4

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$\frac{2}{\ln (2)}$ に $\frac{3}{\ln (4)}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.5

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$\frac{6}{\ln (2) \ln (2^{2})} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.6

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$\frac{6}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.7

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.7.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.7.2.1

$2$ を $\ln (2) (2 \ln (2))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{\ln (2) (\ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.8.1

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.8.2

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.9

まとめる。

$\frac{3 \cdot 2}{\ln^{2} (2) \ln (4)} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.10

まとめる。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.11.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.11.2

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

ステップ 10.12

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.12.1

$\ln (4)$ を $1$ 乗します。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln (4))} \cdot 0$

ステップ 10.12.2

$\ln (4)$ を $1$ 乗します。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln^{1} (4))} \cdot 0$

ステップ 10.12.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) {\ln (4)}^{1 + 1}} \cdot 0$

ステップ 10.12.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)} \cdot 0$

ステップ 10.13

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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