微分積分例

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(6 x y + 5)}^{2}$ を $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.3

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.4

$5$ に $6$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.5

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

ステップ 2.3.1.6

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

ステップ 2.3.2

$30 x y$ と $30 x y$ をたし算します。

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ です。

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.4.2

$36$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $36 x^{2} y^{2}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ です。

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.5

$f (y) = x^{2}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.6

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.6.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.7

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.7.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.8

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.9

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.10

$60$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $60 x y$ の微分係数は $60 \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.11

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.12

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.12.2

$x$ に $1$ をかけます。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.13

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

ステップ 2.14

$25$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

ステップ 2.15

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ と $0$ をたし算します。

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

ステップ 2.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

分配則を当てはめます。

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

ステップ 2.16.2

分配則を当てはめます。

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

ステップ 2.16.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.3.1

$2$ に $36$ をかけます。

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

ステップ 2.16.3.2

$2$ に $36$ をかけます。

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

ステップ 2.16.4

項を並べ替えます。

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$12$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $12 y$ の微分係数は $12 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$12 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1$

ステップ 3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $72 x^{2} y$ を引きます。

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $60 x$ を引きます。

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

ステップ 5.2

$12 y x'$ を $72 y^{2} x x' + 60 y x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$12 y x'$ を $72 y^{2} x x'$ で因数分解します。

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

ステップ 5.2.2

$12 y x'$ を $60 y x'$ で因数分解します。

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

ステップ 5.2.3

$12 y x'$ を $12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ で因数分解します。

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

ステップ 5.3

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ の各項を $12 y (6 y x + 5)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ の各項を $12 y (6 y x + 5)$ で割ります。

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.2.3

$6 y x + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.2

$- 72$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$12$ を $- 72 x^{2} y$ で因数分解します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.2.1

$12$ を $12 y (6 y x + 5)$ で因数分解します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.5

$- 60$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.1

$12$ を $- 60 x$ で因数分解します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.5.2.1

$12$ を $12 y (6 y x + 5)$ で因数分解します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

ステップ 5.3.3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

ステップ 5.3.3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (6 y x + 5)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(6 y x + 5) y$ の因数を並べ替えます。

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 5.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

微分積分 例

微分積分例