微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 64$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2} + 64$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = - x^{2} + 64$ および $g (x) = {(x^{2} + 64)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

${({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.2

総和則では、 $- x^{2} + 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.6

$64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 64$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 64$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 64$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4

$64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $64$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 64$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) (2 \cdot ((x^{2} + 64) x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 64)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 64)}^{2}$ を $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 64) (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 64) + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.2

$64$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 \cdot x^{2} + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.1.3

$64$ に $64$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 x^{2} + 64 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.4.2

$64 x^{2}$ と $64 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 128 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (128 x^{2}) - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.6.1

$128$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.6.2

$- 2$ に $4096$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 8192) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{1 + 2} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $64$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2 + 1} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} (x^{3} + 64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{2} x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{1 + 2}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{3}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.4

$4$ に $64$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.1.5

$64$ に $- 256$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.2

$256 x^{3}$ から $256 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 0 - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3.3

$- 8192 x$ から $16384 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.2

$2 x$ を $- 256 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.3

$2 x$ を $- 24576 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 128 u - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 128 u - 12288$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12288$ で、その和が $- 128$ です。

$- 192, 64$

ステップ 1.1.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 192) (u + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5

$x^{2} + 64$ と ${(x^{2} + 64)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.5.1

$x^{2} + 64$ を $2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.5.2.1

$x^{2} + 64$ を ${(x^{2} + 64)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 192) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 192 = 0$

ステップ 1.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.3.3

$x^{2} - 192$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$x^{2} - 192$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 192 = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 192 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.1

方程式の両辺に $192$ を足します。

$x^{2} = 192$

ステップ 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{192}$

ステップ 1.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{192}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.1

$192$ を $8^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.3.1.1

$64$ を $192$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{64 (3)}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.1.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 8 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 192) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

ステップ 2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x}{x^{2} + 64}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 64 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$x^{2} = - 64$

ステップ 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

ステップ 2.2.3

$\pm \sqrt{- 64}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

ステップ 2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

ステップ 2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

ステップ 2.2.3.4

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

ステップ 2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 8$

ステップ 2.2.3.6

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 8 i$

ステップ 2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8 i$

ステップ 2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8 i$

ステップ 2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8 i, - 8 i$

ステップ 2.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 8 \sqrt{3}) \cup (- 8 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 8 \sqrt{3}) \cup (8 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 16$ で置換えます。

$f'' (- 16) = \frac{2 (- 16) ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

ステップ 4.2.2.2

$256$ と $64$ をたし算します。

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{320^{3}}$

ステップ 4.2.2.3

$320$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{32768000}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 16) = \frac{- 32 (256 - 192)}{32768000}$

ステップ 4.2.3.2

$256$ から $192$ を引きます。

$f'' (- 16) = \frac{- 32 \cdot 64}{32768000}$

ステップ 4.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$- 32$ に $64$ をかけます。

$f'' (- 16) = \frac{- 2048}{32768000}$

ステップ 4.2.4.2

$- 2048$ と $32768000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$2048$ を $- 2048$ で因数分解します。

$f'' (- 16) = \frac{2048 (- 1)}{32768000}$

ステップ 4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.2.1

$2048$ を $32768000$ で因数分解します。

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

ステップ 4.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

ステップ 4.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 16) = \frac{- 1}{16000}$

ステップ 4.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 16) = - \frac{1}{16000}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $- \frac{1}{16000}$ です。

$- \frac{1}{16000}$

ステップ 4.3

$f'' (- 16)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$4$ と $64$ をたし算します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{68^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$68$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{314432}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 - 192)}{314432}$

ステップ 5.2.3.2

$4$ から $192$ を引きます。

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot - 188}{314432}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 4$ に $- 188$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{752}{314432}$

ステップ 5.2.4.2

$752$ と $314432$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$16$ を $752$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{16 (47)}{314432}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.2.1

$16$ を $314432$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

ステップ 5.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

ステップ 5.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{47}{19652}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{47}{19652}$ です。

$\frac{47}{19652}$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 8 \sqrt{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} - 192)}{{({(2)}^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(2^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$4$ と $64$ をたし算します。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{68^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$68$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{314432}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{4 (4 - 192)}{314432}$

ステップ 6.2.3.2

$4$ から $192$ を引きます。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 188}{314432}$

ステップ 6.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$4$ に $- 188$ をかけます。

$f'' (2) = \frac{- 752}{314432}$

ステップ 6.2.4.2

$- 752$ と $314432$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

$16$ を $- 752$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{16 (- 47)}{314432}$

ステップ 6.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.2.1

$16$ を $314432$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

ステップ 6.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

ステップ 6.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{- 47}{19652}$

ステップ 6.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (2) = - \frac{47}{19652}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{47}{19652}$ です。

$- \frac{47}{19652}$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, 8 \sqrt{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 8 \sqrt{3})$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(8 \sqrt{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $16$ で置換えます。

$f'' (16) = \frac{2 (16) ({(16)}^{2} - 192)}{{({(16)}^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(16^{2} + 64)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$16$ を $2$ 乗します。

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$256$ と $64$ をたし算します。

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{320^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$320$ を $3$ 乗します。

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{32768000}$

ステップ 7.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$16$ を $2$ 乗します。

$f'' (16) = \frac{32 (256 - 192)}{32768000}$

ステップ 7.2.3.2

$256$ から $192$ を引きます。

$f'' (16) = \frac{32 \cdot 64}{32768000}$

ステップ 7.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$32$ に $64$ をかけます。

$f'' (16) = \frac{2048}{32768000}$

ステップ 7.2.4.2

$2048$ と $32768000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

$2048$ を $2048$ で因数分解します。

$f'' (16) = \frac{2048 (1)}{32768000}$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.2.1

$2048$ を $32768000$ で因数分解します。

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

ステップ 7.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

ステップ 7.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (16) = \frac{1}{16000}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{1}{16000}$ です。

$\frac{1}{16000}$

ステップ 7.3

$f'' (16)$ が正なので、区間 $(8 \sqrt{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(8 \sqrt{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 8 \sqrt{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(8 \sqrt{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例