微分積分例

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.2

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$2 (x + y x')$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 (y x')$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$2 y x' + 2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 y x'$ を引きます。

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3 y^{2}$ を足します。

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

ステップ 5.3

$x'$ を $3 x^{2} x' - 2 y x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x'$ を $3 x^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

ステップ 5.3.2

$x'$ を $- 2 y x'$ で因数分解します。

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

ステップ 5.3.3

$x'$ を $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ で因数分解します。

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

ステップ 5.4

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ の各項を $3 x^{2} - 2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ の各項を $3 x^{2} - 2 y$ で割ります。

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3 x^{2} - 2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

微分積分 例

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