微分積分例

$x^{2} - y^{2} = 9$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d y} (9)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x x' - (2 y)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x x' - 2 y$

ステップ 3

$9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x x' - 2 y = 0$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$2 x x' = 2 y$

ステップ 5.2

$2 x x' = 2 y$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 x x' = 2 y$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

ステップ 5.2.3.1.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{y}{x}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$

微分積分 例

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