微分積分例

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{5} + y^{5}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d y} (x^{5} + y^{5})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 ${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ です。

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$3 {(x - y)}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$3 {(x - y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 {(x - y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + y$ とします。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

ステップ 2.4.3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$3 {(x + y)}^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$3 ((x + y) (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.1

分配則を当てはめます。

$3 (x (x + y) + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.2.2

分配則を当てはめます。

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.2.3

分配則を当てはめます。

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.3.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.3.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.3.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.3.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.4

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.5

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.6

${(x - y)}^{2}$ を $(x - y) (x - y)$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 ((x - y) (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x - y) (x - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.7.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x (x - y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.7.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.7.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.8.1.4.1

$y$ を移動させます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.1.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.2

$- x y$ から $y x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.8.2.1

$y$ を移動させます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.8.2.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.9

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.10

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 (x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.11

${(x - y)}^{2}$ を $(x - y) (x - y)$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 ((x - y) (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.12

分配法則（FOIL法）を使って $(x - y) (x - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.12.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x (x - y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.12.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.12.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.13.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.13.1.4.1

$y$ を移動させます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.1.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.2

$- x y$ から $y x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.13.2.1

$y$ を移動させます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.13.2.2

$- x y$ から $x y$ を引きます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.14

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} + 3 (- 2 x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.15

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} - 6 (x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.16

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

ステップ 2.4.5.17

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 ((x + y) (x + y)) x'$

ステップ 2.4.5.18

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.18.1

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x (x + y) + y (x + y)) x'$

ステップ 2.4.5.18.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) x'$

ステップ 2.4.5.18.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) x'$

ステップ 2.4.5.19

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.19.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) x'$

ステップ 2.4.5.19.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) x'$

ステップ 2.4.5.19.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.19.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) x'$

ステップ 2.4.5.19.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x'$

ステップ 2.4.5.20

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2}) x'$

ステップ 2.4.5.21

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2}) x'$

ステップ 2.4.5.22

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.6

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$6 x y + 3 y^{2} + 0 + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.6.2

$6 x y + 3 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 x y + 3 y^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.6.3

$3 y^{2}$ から $3 y^{2}$ を引きます。

$6 x y + 6 x y + 0 + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.6.4

$6 x y + 6 x y$ と $0$ をたし算します。

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.6.5

$- 6 x y x'$ と $6 x y x'$ をたし算します。

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 0 + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.6.6

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ と $0$ をたし算します。

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.7

$6 x y$ と $6 x y$ をたし算します。

$12 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.8

$3 x^{2} x'$ と $3 x^{2} x'$ をたし算します。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 y^{2} x'$

ステップ 2.4.9

$3 y^{2} x'$ と $3 y^{2} x'$ をたし算します。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{5} + y^{5}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (y) = y^{5}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} x' + 5 y^{4}$

ステップ 3.3.2

項を並べ替えます。

$5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' = 5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $5 x^{4} x'$ を引きます。

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $12 x y$ を引きます。

$6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

ステップ 5.3

$x'$ を $6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x'$ を $6 x^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (6 x^{2}) + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

ステップ 5.3.2

$x'$ を $6 y^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

ステップ 5.3.3

$x'$ を $- 5 x^{4} x'$ で因数分解します。

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

ステップ 5.3.4

$x'$ を $x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2})$ で因数分解します。

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

ステップ 5.3.5

$x'$ を $x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4})$ で因数分解します。

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

ステップ 5.4

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ の各項を $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ の各項を $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ で割ります。

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{5 y^{4} - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 5.4.3.2

$y$ を $5 y^{4} - 12 x y$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.3.2.1

$y$ を $5 y^{4}$ で因数分解します。

$x' = \frac{y (5 y^{3}) - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 5.4.3.2.2

$y$ を $- 12 x y$ で因数分解します。

$x' = \frac{y (5 y^{3}) + y (- 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 5.4.3.2.3

$y$ を $y (5 y^{3}) + y (- 12 x)$ で因数分解します。

$x' = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例