微分積分例

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 24}$ を ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$20$ を $C$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [20 C]$

ステップ 3.2

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 C$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [C]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [C]$ を $C'$ に書き換えます。

$20 C'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

微分します。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x + 24$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 24$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

ステップ 4.2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

ステップ 4.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 24$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

ステップ 4.2.2

総和則では、 $2 x + 24$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ です。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

ステップ 4.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

ステップ 4.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

ステップ 4.2.5

$24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $24$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.8

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

ステップ 4.2.11

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

ステップ 4.2.12

$2$ と $0$ をたし算します。

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

ステップ 4.2.13

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

ステップ 4.2.14

$\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

ステップ 4.2.15

$2$ を ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.2.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.17

共通因数を約分します。

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.18

式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ をたし算します。

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $20$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $20$ で割ります。

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

ステップ 6.2.1.2

$C'$ を $1$ で割ります。

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

ステップ 6.3.2

まとめる。

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

ステップ 6.3.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$1$ に $1$ をかけます。

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

ステップ 6.3.3.2

$20$ を ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$C'$ を $\frac{d C}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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