微分積分例

$g (a - 3) = \frac{1}{(a + 3) - 3}$

ステップ 1

括弧を削除します。

$g (a - 3) = \frac{1}{a + 3 - 3}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d a} (g (a - 3)) = \frac{d}{d a} (\frac{1}{a + 3 - 3})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (a) = g$ および $g (a) = a - 3$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ は $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$g \frac{d}{d a} [a - 3] + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $a - 3$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]$ です。

$g (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g (1 + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

ステップ 3.2.3

$- 3$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$g (1 + 0) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$g \cdot 1 + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

ステップ 3.2.4.2

$g$ に $1$ をかけます。

$g + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d a} [g]$ を $g'$ に書き換えます。

$g + (a - 3) g'$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$g + a g' - 3 g'$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$a g' + g - 3 g'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a + 0}]$

ステップ 4.1.2

$a$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{a}$ を $a^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d a} [a^{- 1}]$

ステップ 4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- a^{- 2}$

ステップ 4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{a^{2}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$a g' + g - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}}$

ステップ 6

$g'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $g$ を引きます。

$a g' - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

ステップ 6.2

$g'$ を $a g' - 3 g'$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$g'$ を $a g'$ で因数分解します。

$g' a - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

ステップ 6.2.2

$g'$ を $- 3 g'$ で因数分解します。

$g' a + g' \cdot - 3 = - \frac{1}{a^{2}} - g$

ステップ 6.2.3

$g'$ を $g' a + g' \cdot - 3$ で因数分解します。

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$

ステップ 6.3

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ の各項を $a - 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ の各項を $a - 3$ で割ります。

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$a - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

ステップ 6.3.2.1.2

$g'$ を $1$ で割ります。

$g' = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$g' = - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

ステップ 6.3.3.1.2

$\frac{1}{a - 3}$ に $\frac{1}{a^{2}}$ をかけます。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} + \frac{- g}{a - 3}$

ステップ 6.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3}$

ステップ 6.3.3.2

$- \frac{g}{a - 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ を掛けます。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}}$

ステップ 6.3.3.3

$\frac{g}{a - 3}$ に $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ をかけます。

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

ステップ 6.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$g' = \frac{- 1 - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

ステップ 6.3.3.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$g' = \frac{- 1 (1) - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

ステップ 6.3.3.6

$- 1$ を $- g a^{2}$ で因数分解します。

$g' = \frac{- 1 (1) - (g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

ステップ 6.3.3.7

$- 1$ を $- 1 (1) - (g a^{2})$ で因数分解します。

$g' = \frac{- 1 (1 + g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

ステップ 6.3.3.8

式を簡約します。

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ステップ 6.3.3.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

ステップ 6.3.3.8.2

$- \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

ステップ 7

$g'$ を $\frac{d g}{d a}$ で置き換えます。

$\frac{d g}{d a} = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

微分積分 例

微分積分例