微分積分例

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

ステップ 1

$h$ に $x$ をかけます。

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = h x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $h x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $h x$ で置き換えます。

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

ステップ 3.2

$f (x) = h$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

ステップ 3.3.2

$h$ に $1$ をかけます。

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [h]$ を $h'$ に書き換えます。

$\cos (h x) (h + x h')$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

微分します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

ステップ 4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 4.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 4.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 4.4.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 4.5

微分します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.5.2

掛け算します。

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ステップ 4.5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5.2.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 4.5.4

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

ステップ 4.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

ステップ 4.6.2.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 6

$h'$ について解きます。

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ステップ 6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ の因数を並べ替えます。

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $h \cos (h x)$ を引きます。

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

ステップ 6.3

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ の各項を $x \cos (h x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ の各項を $x \cos (h x)$ で割ります。

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.2.2

$\cos (h x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.2.2.2

$h'$ を $1$ で割ります。

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1.1

分数を分解します。

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.2

$\frac{1}{\cos (h x)}$ を $\sec (h x)$ に変換します。

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.4

まとめる。

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.6

$\frac{e^{x}}{2 x}$ と $\sec (h x)$ をまとめます。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.7

分数を分解します。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.8

$\frac{1}{\cos (h x)}$ を $\sec (h x)$ に変換します。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.10

まとめる。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.11

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.12

$\frac{e^{- x}}{2 x}$ と $\sec (h x)$ をまとめます。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.13

$\cos (h x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.1.13.1

共通因数を約分します。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

ステップ 6.3.3.1.13.2

式を書き換えます。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

ステップ 6.3.3.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

ステップ 7

$h'$ を $\frac{d h}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

微分積分 例

微分積分例