微分積分例

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

ステップ 2

$x$ に関する $f$ の微分係数は $f'$ です。

$f'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

ステップ 3.2.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$4 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ の微分係数は $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ です。

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x}{7 y}$ とします。

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

ステップ 3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x}{7 y}$ で置き換えます。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

ステップ 3.3.3

$\frac{2}{7 y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{7 y}$ の微分係数は $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$\frac{2}{7 y}$ に $1$ をかけます。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

ステップ 3.3.6

$e^{\frac{2 x}{7 y}}$ と $\frac{2}{7 y}$ をまとめます。

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

ステップ 3.3.7

$2$ を $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ の左に移動させます。

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

ステップ 3.3.8

$4$ と $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ をまとめます。

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

ステップ 3.3.9

$2$ に $4$ をかけます。

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

ステップ 3.3.10

$y$ と $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ をまとめます。

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

ステップ 3.3.11

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.11.1

共通因数を約分します。

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

ステップ 3.3.11.2

式を書き換えます。

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

ステップ 5

$f'$ を $\frac{d f}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

微分積分 例

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