微分積分例

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = f$ です。

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

ステップ 2.2

$4$ は $P$ に対して定数なので、 $P$ に対する $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ です。

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

ステップ 2.3

$f (P) = f^{2} P$ および $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ のとき、 $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ は $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.4

$f (P) = f^{2}$ および $g (P) = P$ のとき、 $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ は $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ は $n P^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.5.2

$f^{2}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.6

$f (P) = P^{2}$ および $g (P) = f$ のとき、 $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ は $f' (g (P)) g' (P)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $f$ とします。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $f$ で置き換えます。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ を $P$ の左に移動させます。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.8

$\frac{d}{d P} [f]$ を $f'$ に書き換えます。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.9

$f (P) = 1 + f$ および $g (P) = 1 - f$ のとき、 $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ は $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.10

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

総和則では、 $1 - f$ の $P$ に関する積分は $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ です。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$1$ は $P$ について定数なので、 $P$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.10.3

$0$ と $\frac{d}{d P} [- f]$ をたし算します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.10.4

$- 1$ は $P$ に対して定数なので、 $P$ に対する $- f$ の微分係数は $- \frac{d}{d P} [f]$ です。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.11

$\frac{d}{d P} [f]$ を $f'$ に書き換えます。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.12

総和則では、 $1 + f$ の $P$ に関する積分は $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ です。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.13

$1$ は $P$ について定数なので、 $P$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.14

$0$ と $\frac{d}{d P} [f]$ をたし算します。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.15

$\frac{d}{d P} [f]$ を $f'$ に書き換えます。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.16

$4$ と $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

ステップ 2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

積の法則を $(1 + f) (1 - f)$ に当てはめます。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.5

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + f) (1 - f)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.1.2

$- f$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.1.3

$f$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.1.5

指数を足して $f$ に $f$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.2.1.5.1

$f$ を移動させます。

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.1.5.2

$f$ に $f$ をかけます。

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.2

$- f$ と $f$ をたし算します。

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.4.1

$f^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.2

$2 P f f'$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.3

指数を足して $f^{2}$ に $f^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.4.3.1

$f^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.4

指数を足して $f^{2}$ に $f$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.4.4.1

$f$ を移動させます。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.4.2

$f$ に $f^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.4.4.2.1

$f$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.6.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.6.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.6.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.7

括弧を削除します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.8

$- f'$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.9

$- f^{2} P (- f')$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.9.2

$f^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.10

指数を足して $f^{2}$ に $f$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.10.1

$f$ を移動させます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.10.2

$f$ に $f^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.10.2.1

$f$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.10.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.11

$- f^{3} P (- f')$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.11.2

$f^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.12

$f'$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.13

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.14

指数を足して $f^{2}$ に $f$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.14.1

$f$ を移動させます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.14.2

$f$ に $f^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.14.2.1

$f$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.14.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.14.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.15

$- 1 f'$ を $- f'$ に書き換えます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.16

$- f^{3} P (- f')$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1.16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.1.16.2

$f^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.2

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.2.1

$4 f^{2} P f'$ から $4 f^{2} P f'$ を引きます。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.2.2

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.3

$- 8 f^{3} P f'$ と $4 f^{3} P f'$ をたし算します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.4

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.4.1

$- 4 f^{3} P f'$ と $4 f^{3} P f'$ をたし算します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.6.4.2

$4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.7

項を並べ替えます。

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.8

$4 f$ を $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.8.1

$4 f$ を $- 4 f^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.8.2

$4 f$ を $4 f^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.8.3

$4 f$ を $8 P f f'$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.8.4

$4 f$ を $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.8.5

$4 f$ を $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.9

$- 1$ を $- f^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.10

$- 1$ を $f$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.11

$- 1$ を $- (f^{3}) - 1 (- f)$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.12

$- 1$ を $2 P f'$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.13

$- 1$ を $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ で因数分解します。

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.14

$- (f^{3} - f - 2 P f')$ を $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ に書き換えます。

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 2.17.16

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

ステップ 3

$K$ は $P$ について定数なので、 $P$ について $K$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

ステップ 5

$f'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

ステップ 5.2

$f'$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ の各項を $4 f$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ の各項を $4 f$ で割ります。

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

ステップ 5.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

ステップ 5.2.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

ステップ 5.2.1.2.2

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

ステップ 5.2.1.2.2.2

$f^{3} - f - 2 P f'$ を $1$ で割ります。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

ステップ 5.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

ステップ 5.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1.2.1

$4$ を $4 f$ で因数分解します。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

ステップ 5.2.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

ステップ 5.2.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

ステップ 5.2.1.3.2

$0$ を $f$ で割ります。

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

ステップ 5.2.2

$f'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

方程式の両辺から $f^{3}$ を引きます。

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

ステップ 5.2.2.2

方程式の両辺に $f$ を足します。

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

ステップ 5.2.3

$- 2 P f' = - f^{3} + f$ の各項を $- 2 P$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 2 P f' = - f^{3} + f$ の各項を $- 2 P$ で割ります。

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

ステップ 5.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

ステップ 5.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

ステップ 5.2.3.2.2

$P$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

$f'$ を $1$ で割ります。

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

ステップ 5.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

ステップ 5.2.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

ステップ 6

$f'$ を $\frac{d f}{d P}$ で置き換えます。

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

微分積分 例

微分積分例