微分積分例

$x p^{2} = 5$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x p^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = p^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [p^{2}] + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = p$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $p$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [p]) + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u \frac{d}{d x} [p]) + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $p$ で置き換えます。

$x (2 p \frac{d}{d x} [p]) + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x p \frac{d}{d x} [p] + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [p]$ を $p'$ に書き換えます。

$2 x p p' + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x p p' + p^{2} \cdot 1$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$p^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x p p' + p^{2}$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$p^{2} + 2 p x p'$

ステップ 3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$p^{2} + 2 p x p' = 0$

ステップ 5

$p'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $p^{2}$ を引きます。

$2 p x p' = - p^{2}$

ステップ 5.2

$2 p x p' = - p^{2}$ の各項を $2 p x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 p x p' = - p^{2}$ の各項を $2 p x$ で割ります。

$\frac{2 p x p'}{2 p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 p x p'}{2 p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{p x p'}{p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.2.2

$p$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{p x p'}{p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x p'}{x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x p'}{x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.2.3.2

$p'$ を $1$ で割ります。

$p' = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$p^{2}$ と $p$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$p$ を $- p^{2}$ で因数分解します。

$p' = \frac{p (- p)}{2 p x}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$p$ を $2 p x$ で因数分解します。

$p' = \frac{p (- p)}{p (2 x)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$p' = \frac{p (- p)}{p (2 x)}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$p' = \frac{- p}{2 x}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$p' = - \frac{p}{2 x}$

ステップ 6

$p'$ を $\frac{d p}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d p}{d x} = - \frac{p}{2 x}$

微分積分 例

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