微分積分例

$p = \frac{10000}{q^{2} + 25}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{10000}{q^{2} + 25})$

ステップ 2

$q$ に関する $p$ の微分係数は $p'$ です。

$p'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

$10000$ は $q$ に対して定数なので、 $q$ に対する $\frac{10000}{q^{2} + 25}$ の微分係数は $10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$ です。

$10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{q^{2} + 25}$ を ${(q^{2} + 25)}^{- 1}$ に書き換えます。

$10000 \frac{d}{d q} [{(q^{2} + 25)}^{- 1}]$

ステップ 3.2

$f (q) = q^{- 1}$ および $g (q) = q^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ は $f' (g (q)) g' (q)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $q^{2} + 25$ とします。

$10000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $q^{2} + 25$ で置き換えます。

$10000 (- {(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $10000$ をかけます。

$- 10000 ({(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $q^{2} + 25$ の $q$ に関する積分は $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25]$ です。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25])$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ は $n q^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + \frac{d}{d q} [25])$

ステップ 3.3.4

$25$ は $q$ について定数なので、 $q$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + 0)$

ステップ 3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$2 q$ と $0$ をたし算します。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q)$

ステップ 3.3.5.2

$2$ に $- 10000$ をかけます。

$- 20000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} q$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 20000 \frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$- 20000$ と $\frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

ステップ 3.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

ステップ 3.4.2.3

$q$ と $\frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{q \cdot 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.4

$20000$ を $q$ の左に移動させます。

$- \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$p' = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 5

$p'$ を $\frac{d p}{d q}$ で置き換えます。

$\frac{d p}{d q} = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例