微分積分例

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

ステップ 2

$y$ に関する $f$ の微分係数は $f'$ です。

$f'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $e^{x} \sin (y + z) - z$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ です。

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $e^{x} \sin (y + z)$ の微分係数は $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ です。

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.2

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = y + z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y + z$ とします。

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + z$ で置き換えます。

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $y + z$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ です。

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.5

$z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $z$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.2.7

$\cos (y + z)$ に $1$ をかけます。

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- z$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

ステップ 3.3.2

$e^{x} \cos (y + z)$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} \cos (y + z)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

ステップ 5

$f'$ を $\frac{d f}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$

微分積分 例

微分積分例