微分積分例

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = b^{2}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = b$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $b$ とします。

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $b$ で置き換えます。

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [b]$ を $b'$ に書き換えます。

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $b^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.2.6

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$a^{2} y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a^{2} y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

ステップ 2.3.2

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ と $0$ をたし算します。

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$a^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a^{2} b^{2}$ の微分係数は $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ です。

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = b$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $b$ とします。

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $b$ で置き換えます。

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

ステップ 3.3

$2$ を $a^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [b]$ を $b'$ に書き換えます。

$2 a^{2} b b'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

ステップ 5

$b'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 a^{2} b b'$ を引きます。

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 b^{2} x$ を引きます。

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

ステップ 5.3

$2 b b'$ を $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$2 b b'$ を $2 x^{2} b b'$ で因数分解します。

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

ステップ 5.3.2

$2 b b'$ を $- 2 a^{2} b b'$ で因数分解します。

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

ステップ 5.3.3

$2 b b'$ を $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ で因数分解します。

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

ステップ 5.4

因数分解。

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ステップ 5.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = a$ です。

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

ステップ 5.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

ステップ 5.5

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ の各項を $2 b (x + a) (x - a)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ の各項を $2 b (x + a) (x - a)$ で割ります。

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.2

$b$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.3

$x + a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.4

$x - a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.2.4.2

$b'$ を $1$ で割ります。

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1

$2$ を $- 2 b^{2} x$ で因数分解します。

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.2.1

$2$ を $2 b (x + a) (x - a)$ で因数分解します。

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

ステップ 5.5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

ステップ 5.5.3.2

$b^{2}$ と $b$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.2.1

$b$ を $- b^{2} x$ で因数分解します。

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

ステップ 5.5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.2.2.1

$b$ を $(b (x + a)) (x - a)$ で因数分解します。

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

ステップ 5.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

ステップ 5.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

ステップ 5.5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

ステップ 6

$b'$ を $\frac{d b}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

微分積分 例

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