微分積分例

$y = \frac{t^{2} + 3}{{(5 t - 2)}^{9}}$

ステップ 1

$f (t) = t^{2} + 3$ および $g (t) = {(5 t - 2)}^{9}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{({(5 t - 2)}^{9})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${({(5 t - 2)}^{9})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{9 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $t^{2} + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 2.4

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 2.5.2

$2$ を ${(5 t - 2)}^{9}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 3

$f (t) = t^{9}$ および $g (t) = 5 t - 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 t - 2$ とします。

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 3.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 t - 2$ で置き換えます。

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 {(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 4.2

${(5 t - 2)}^{8}$ を $2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

${(5 t - 2)}^{8}$ を $2 {(5 t - 2)}^{9} t$ で因数分解します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 4.2.2

${(5 t - 2)}^{8}$ を $- 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ で因数分解します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 4.2.3

${(5 t - 2)}^{8}$ を ${(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))$ で因数分解します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

${(5 t - 2)}^{8}$ を ${(5 t - 2)}^{18}$ で因数分解します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 6

総和則では、 $5 t - 2$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ です。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 7

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 9

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 10

$- 2$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + 0)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) \cdot 5}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 11.2

$5$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{2 (5 t - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (5 t) + 2 \cdot - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.4

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.4.1.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 12.4.1.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{2 (5 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.4.1.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{2 (5 t^{2}) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.4.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.4.1.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.4.1.4

$- 45$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.4.2

$10 t^{2}$ から $45 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 35 t^{2} - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.5

$- 1$ を $- 35 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (35 t^{2}) - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.6

$- 1$ を $- 4 t$ で因数分解します。

$\frac{- (35 t^{2}) - (4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.7

$- 1$ を $- (35 t^{2}) - (4 t)$ で因数分解します。

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.8

$- 135$ を $- 1 (135)$ に書き換えます。

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.9

$- 1$ を $- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)$ で因数分解します。

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.10

$- (35 t^{2} + 4 t + 135)$ を $- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

ステップ 12.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{35 t^{2} + 4 t + 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

微分積分 例

微分積分例