微分積分例

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

ステップ 1

$f (a) = a^{9}$ および $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{b}{a + z^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

ステップ 1.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{b}{a + z^{2}}$ で置き換えます。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$b$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $\frac{b}{a + z^{2}}$ の微分係数は $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ です。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{a + z^{2}}$ を ${(a + z^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

ステップ 3

$f (a) = a^{- 1}$ および $g (a) = a + z^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $a + z^{2}$ とします。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $a + z^{2}$ で置き換えます。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $a + z^{2}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ です。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

ステップ 4.3

$z^{2}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $z^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

ステップ 4.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

ステップ 5.2

$b$ と $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

積の法則を $\frac{b}{a + z^{2}}$ に当てはめます。

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$9$ と $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ をまとめます。

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

ステップ 6.2.2

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ に $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.3

$b$ を $1$ 乗します。

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.5

$1$ と $8$ をたし算します。

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.6

指数を足して ${(a + z^{2})}^{8}$ に ${(a + z^{2})}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

ステップ 6.2.6.2

$8$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$

微分積分 例

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