微分積分例

$\sqrt{2 a x - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 a x - x^{2}}$ を ${(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d a} [{(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (a) = a^{\frac{1}{2}}$ および $g (a) = 2 a x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 a x - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 a x - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

ステップ 8

総和則では、 $2 a x - x^{2}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [2 a x] + \frac{d}{d a} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d a} [2 a x] + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

ステップ 9

$2 x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $2 a x$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

ステップ 11

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

ステップ 12

$- x^{2}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $- x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 13

項を簡約します。

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ステップ 13.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 13.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 13.3

$\frac{2}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.6

項を並べ替えます。

$\frac{x}{{(- x^{2} + 2 a x)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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