微分積分例

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ および $g (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x - 1$ とします。

${(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(2 x + 1)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

${(2 x + 1)}^{3} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$4$ を ${(2 x + 1)}^{3}$ の左に移動させます。

$4 \cdot {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 3.7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

ステップ 4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x + 1$ とします。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$3$ を ${(2 x - 1)}^{4}$ の左に移動させます。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 5.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 5.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

ステップ 5.7

式を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

ステップ 5.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ を $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ を $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 6.1.2

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ を $6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$

ステップ 6.1.3

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ を $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$ で因数分解します。

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$

ステップ 6.2

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$ の因数を並べ替えます。

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$

微分積分 例

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