微分積分例

$N (t) = - \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$

ステップ 1

総和則では、 $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$ です。

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 20000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 20000 \frac{d}{d t} [{({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$- 20000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 20000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.4

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 1 + 0.2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + 0.2 t$ とします。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + 0.2 t$ で置き換えます。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.5

総和則では、 $1 + 0.2 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ です。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.6

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.7

$0.2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $0.2 t$ の微分係数は $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.9

${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.9.2.2

共通因数を約分します。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.9.2.3

式を書き換えます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.12

公分母の分子をまとめます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.13

分子を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.14

分数の前に負数を移動させます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.15

$0.2$ に $1$ をかけます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2))) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.16

$0$ と $0.2$ をたし算します。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.17

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.18

$\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $0.2$ をまとめます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.19

$0.2$ を ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2 \cdot {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.21

$\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ をまとめます。

$- 20000 (- \frac{0.2 {(1 + 0.2 t)}^{- 1}}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.22

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0.2 t)}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.23

指数を足して ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + 0.2 t$ を掛けます。

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ステップ 2.23.1

$1 + 0.2 t$ を移動させます。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ((1 + 0.2 t) {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.23.2

$1 + 0.2 t$ に ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.23.2.1

$1 + 0.2 t$ を $1$ 乗します。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{1} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.23.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{1 + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.23.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.23.4

公分母の分子をまとめます。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2 + 1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.23.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.24

$- 1$ に $- 20000$ をかけます。

$20000 \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.25

$20000$ と $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{20000 \cdot 0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.26

$20000$ に $0.2$ をかけます。

$\frac{4000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.27

$2$ を $4000$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.28

共通因数を約分します。

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ステップ 2.28.1

$2$ を $2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2000}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.28.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 2.28.3

式を書き換えます。

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

ステップ 3

$c$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$\frac{2000}{{(0.2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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