微分積分例

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

ステップ 1

$f (v) = v^{6}$ および $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{v}{v^{3} + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

ステップ 1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{v}{v^{3} + 1}$ で置き換えます。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

ステップ 2

$f (v) = v$ および $g (v) = v^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ は $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$v^{3} + 1$ に $1$ をかけます。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $v^{3} + 1$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ です。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3 v^{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

指数を足して $v$ に $v^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$v^{2}$ を移動させます。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$v^{2}$ に $v$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$v$ を $1$ 乗します。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$v^{3}$ から $3 v^{3}$ を引きます。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

積の法則を $\frac{v}{v^{3} + 1}$ に当てはめます。

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$6$ と $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ に $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.3

指数を足して ${(v^{3} + 1)}^{5}$ に ${(v^{3} + 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

ステップ 6.2.3.2

$5$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$

微分積分 例

微分積分例