微分積分例

$2 p \sqrt{\frac{x}{y}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x}{y}}$ を ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 p {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$2 p$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 p {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 p \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 p \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$2 p (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 p (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 p (\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 7.2

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$p (\frac{2}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 7.3

$\frac{2}{2}$ と $p$ をまとめます。

$\frac{2 p}{2} ({(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 p}{2} ({(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 7.4.2

$p$ を $1$ で割ります。

$p ({(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

ステップ 8

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$p {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$\frac{1}{y}$ と $p$ をまとめます。

$\frac{p}{y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{p}{y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 11

$\frac{p}{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{p}{y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{p}{y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 12.2

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$\frac{p}{y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3

項をまとめます。

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ステップ 12.3.1

$\frac{p}{y}$ に $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{p y^{\frac{1}{2}}}{y x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{p}{y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.3.3.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{p}{y^{- \frac{1}{2}} y x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 12.3.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{p}{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{p}{y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{p}{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{p}{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{p}{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.4

項を並べ替えます。

$\frac{p}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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