微分積分例

$\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ を ${({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{- 3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = 25 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $25 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $25 - x^{2}$ で置き換えます。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $25 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (2 x)$

ステップ 3.7

$2$ に $3$ をかけます。

$6 {(25 - x^{2})}^{- 4} x$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{4}} x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項をまとめます。

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ステップ 5.1.1

$6$ と $\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{6}{{(25 - x^{2})}^{4}} x$

ステップ 5.1.2

$\frac{6}{{(25 - x^{2})}^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{6 x}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{6 x}{{(- x^{2} + 25)}^{4}}$

微分積分 例

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