微分積分例

${({(x^{2} + 3)}^{5} + x)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{5} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ で置き換えます。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

ステップ 2

総和則では、 ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{2} + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 3$ とします。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 3$ で置き換えます。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

$2$ に $5$ をかけます。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

ステップ 4.2

項を並べ替えます。

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1)$

ステップ 5.2

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$(10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1) (2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x)$

微分積分 例

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